Menyelesaikan Masalah Menggunakan Matriks

Pada bagian ini kita akan mempelajari penggunaan matriks untuk menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan sistem persamaan linear dua variabel (SPLDV) dan sistem persamaan linear tiga variabel (SPLTV). 

Mari kita bahas penggunaan matriks untuk menyelesaikan SPLDV dan SPLTV berikut!

1. Sistem Persamaan Linear Dua Variabel

    Diberikan sistem persamaan linear dua variabel sebagai berikut:    

    SPLDV diatas dapat diselesaikan dengan invers matriks dan determinan (aturan Cramer)

    a. Menyelesaikan SPLDV Menggunakan Cara Invers

        Sistem persamaan diatas dapat dinyatakan dalam bentuk matriks sebagai berikut:

        

     

        A dinamakan matriks koefisien.

        Diperoleh persamaan matriks AX= B

        Penyelesaiannya adalah  X = A^-1B

     b. Menyelesaikan SPLDV Menggunakan Determinan (Aturan Cramer)

          Didefinisikan determinan utama (D) yaitu determinan dari matriks koefisien-koefisien x dan y.

          

         

         Didefinisikan determinan variabel x (Dx) yaitu determinan dari matriks yang diperoleh dengan menggantikan koefisien-koefisien variabel x dari determinan utama dengan bilangan-bilangan di ruas kanan.

   

     

         Didefinisikan determinan variabel y (Dy) yaitu determinan dari matriks yang diperoleh dengan menggantikan koefisien-koefisien variabel y dari determinan utama dengan bilangan-bilangan di ruas kanan.

        Nilai x dan y di tentukan dengan rumus:

   

       Banyaknya penyelesaian suatu SPL dapat dilihat dari nilai-nilai determinannya.

   

2. Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel

    Diberikan sistem persamaan linear tiga variabel (SPLTV) sebagai berikut:

    

    SPLTV diatas dapat diselesaiakan menggunakan cara invers matriks dan metod Cramer.

    a. Menyelesaikan SPLTV Menggunakan Cara Invers Matriks

    

        Diperoleh persamaan matriks AX= B

        Penyelesaiannya adalah X = X = A^-1B.

    b. Menyelesaikan SPLTV Menggunakan Cara Invers Matriks

        Penyelesaian sistem persamaan linear tiga variabel dapat ditentuka  sebagai berikut:

  

   

       Nilai x, y, dan z di tentukan dengan rumus:

   

3. Contoh Soal Penyelesaian SPLDV dan SPLTV dengan Matriks

 

    

^{Untuk lebih memahami materi bagian determinan matriks, silahkan simak video pembelajaran dibawah ini!}

    

  ^{Sudahkah kamu menyimak video tersebut? Apakah kamu telah benar-benar memahami materi pada bagian menyelesaikan SPLDV dan SPTV menggunakan matriks ini?}

^{Guna memperdalam pemahamanmu terkait materi pada bagian ini, selesaikankan soal-soal dibawah ini!}

   

^{Untuk mengkonfirmasi pengerjaan soal yang telah kalian kerjakan, silahkan lihat atau download pembahasan soal di atas melalaui tautan file dibawah ini!}

^{https://drive.google.com/file/d/1o2CoVf3gJ2cYqE3eQOtiaMIJNkEcsn4E/view?usp=share_link}

Determinan dan Invers Matriks

1. Determinan Matriks 

a. Determinan matriks Ordo 2x2

Misalkan,,   maka determinan matriks A adalah det (A) = |A| == ad = be

Contoh:

b. Determinan Matriks Ordo 3x3

        |A| =  aei + bfg + cdh - ceg - afh - bdi

    Contoh:

 

c. Jenis Matriks Berdasarkan Nilai Determinannya

    Berdasarkan nilai determinannya, matriks dibagi menjadi dua yaitu:

    a. Jika det (A) = 0, maka matriks A disebut matriks singular

    b. Jika det (A) tidak sama dengan 0, maka matriks A disebut matriks non singular.

d. Sifat-Sifat Determinan Matriks

    Misalkan A dan B merupakan matriks persegi, maka berlaku sifat-sifat berikut:

    1) det (A) = det (A^T)

    2) det (kA) = k² det (A) untuk A_2x2 dan det (kA) = k³ det (A)  untuk A_3x3

    3) det (AB) = det (A) det (B)

    4) det (Aⁿ) = (det (A))ⁿ

    ^{Untuk lebih memahami materi bagian determinan matriks, silahkan simak video pembelajaran dibawah ini!}

2. Invers Matriks

a. Pengertian Invers Matriks 

    Misalkan A dan B merupakan dua matriks persegi dengan ordo sama. Jika matriks A dan B memenuhi hubungan AB = BA = I, dikatakan A dan B merupakan dua matriks yang saling invers. Matriks B disebut sebagai invers perkalian dari matriks A dan dinotasikan dengan A^{-1 .} Matriks A disebut sebagai invers perkalian dari matriks B dan dinotasikan dengan B^-1

b. Rumus Invers

    1) Invers matriks berordo 2x2

    Jika matriks A adalah matriks singular, maka matriks A tidak mempunyai invers.    

    Contoh:

   2. Invers Matriks Berordo 3x3

   c. Sifat-Sifat Invers

3. Contoh Soal dan Pembahasan

Untuk lebih memahami materi bagian invers matriks, silahkan simak video pembelajaran dibawah ini!

    Sudahkah kamu menyimak video tersebut? Apakah Kamu benar-benar telah memahami materi pada bagian determinan dan invers matriks ini? 

Guna memperdalam pemahamanmu, kerjakanlah soal-soal dibawah ini!

Untuk mengkonfirmasi pengerjaan soal yang telah kalian kerjakan, silahkan lihat atau download pembahasan soal di atas melalui tautan file dibawah ini!

https://drive.google.com/file/d/1obOFv-aaKLZghxJzcDw3k9lgWF2JXib_/view?usp=share_link

Operasi Matriks

 

Teman- teman tahu kan, kalau dua matriks dapat dioperasikan? Nah, Operasi matriks dapat dilakukan hanya jika memenuhi syarat dan ketentuannya. 

1. Penjumlahan Matriks

    Dua atau lebih matriks dapat dijumlahkan jika ordo matriks-matriks tersebut sama, misal matriks A dan B, yang memiliki ordo sama, maka elemen-elemen yang seletak dapat dijumlahkan.

Sifat Penjumlahan Matriks

Komutatif

Asosiatif 

Matriks identitas penjumlahan yaitu penjumlahan matriks O, sehingga:

Contoh:

2. Pengurangan Matriks

    Dua atau lebih matriks dapat dikurangkan jika ordo matriks-matriks tersebut sama, misal matriks A dan B, yang memiliki ordo sama, maka elemen-elemen yang seletak dapat dikurangkan.

Contoh:

3. Perkalian Skalar dengan Matriks

    Misalkan terdapat matriks A berordo m × n dan suatu bilangan real (skalar), yaitu k. Perkalian antara matriks A dengan skalar k dapat ditulis dengan kA yang diperoleh dengan mengalikan setiap elemen matriks A dengan skalar k. Jika matriks A dan B berordo sama dan k adalah anggota bilangan real, berlaku sifat-sifat:

Sifat distributif : (k₁+k₂)A = k₁A + k₂A

Sifat Asosiatif   : k₁ (k₂A) = k₁ k₂A

4. Perkalian Matriks

    Misalkan terdapat dua buah matriks, yaitu matriks A dengan ordo m × p dan matriks B dengan ordo p × n. Perkalian matriks A dengan matriks B dapat ditulis dengan A × B yang diperoleh dari penjumlahan hasil kali elemen-elemen yang bersesuaian pada baris ke-i matriks A dengan kolom ke-j matriks B, dengan i = 1, 2, 3, ..., m dan j = 1, 2, 3, ..., n.

    Syarat agar dua buah matriks dapat dikalikan adalah matriks pertama harus memiliki jumlah kolom yang sama dengan jumlah baris pada matriks kedua. Ordo matriks hasil perkalian dua buah matriks adalah jumlah baris pertama dikali jumlah kolom ke dua.

Misalkan matriks A berukuran 2x2 dikalikan dengan matriks B berukuran 2x2, sehingga rumusnya akan menjadi:

Misalkan semua hasil kali dan jumlah terdefinisi untuk matriks A, B, dan C serta untuk k ∈ bilangan real, maka berlaku sifat-sifat berikut:

Sifat tidak komutatif

Sifat Asosiatif: A (BC) = (AB)C

Sifat distributif:

Distributif kiri

A ( B + C ) = AB + AC

A ( B - C ) = AB – AC

Distributif kanan

( B + C ) A = BA + CA

( B - C ) A = BA – CA

Pada matriks persegi terdapat suatu matriks identitas I sedemikian berlaku:

IA = AI = A

Untuk lebih memahami materi pada bagian operasi matriks, silahkan simak video pembelajaran dibawah ini!

Sudahkah kamu menyimak video tersebut? Apakah kamu telah benar-benar memahami materi pada bagian operasi matriks ini?

Guna memperdalam pemahamanmu, kerjakanlah soal-soal dibawah ini!

Untuk mengkonfirmasi pengerjaan soal yang telah kalian kerjakan, silahkan lihat atau download pembahasan soal di atas melalaui tautan file dibawah ini!

https://drive.google.com/file/d/1LMEOzq8q8fOGSeR9JIxDd3i_7aB0lR2L/view?usp=share_link

Pengertian dan Notasi Matriks

Perhatikan tabel dan Gambar yang disajikan dibawah ini!

Nama Siswa	Alpa	Sakit	Izin
Alif	2	0	1
Ella	1	2	0
Tias	0	1	1

Tabel 1

Gambar 1

    Tabel 1 menunjukkan absensi siswa dan gambar 1 menunjukkan bilangan-bilangan anggota tabel. Ketika keterangan pada tabel dihilangkan,akan tersisa susunan bilangan yang menempati baris dan kolom. letak bilangan tersebut tidak boleh diubah agar tidak mengubah makna. Susunan bilangan inilah yang menjadi dasar untuk mengenal konsep matriks

A. Pengertian Matriks

    Matriks adalah susunan bilangan yang diatur menurut aturan baris dan kolom dalam suatu jajaran berbentuk persegi panjang. Susunan bilangan-bilangan tersebut biasanya diletakkan didalam kurung biasa ( ) atau kurung siku [ ], dan dinamakan anggota atau elemen matriks. Contoh bentuk matriks:

B. Notasi dan Ordo Matriks

    Matriks itu mempunyai ukuran loh guys. Ukuran matriks disebut ordo. Ordo matriks ini berdasarkan dari banyaknya baris dikali banyaknya kolom pada matriks. Jadi, kalo suatu matriks A memiliki m baris dan n kolom, maka matriks A tersebut berukuran (berordo) m x n. Supaya lebih sederhana, kita bisa menulisnya dengan A_mxn.  

    Nah, masing-masing bilangan yang terdapat di dalam matriks disebut elemen matriks. Elemen-elemen matriks juga ada notasinya sendiri, lho. Kalo matriks dinotasikan dengan huruf kapital, maka elemen-elemen matriks dinotasikan dengan huruf kecil dan diberi indeks yang menyatakan letak baris dan kolomnya.

    Misalnya nih, pada matriks A di atas, jumlah barisnya kan ada 3 dan jumlah kolomnya juga ada 3, maka ordonya adalah 3 x 3, atau bisa kita tulis A_3x3. Lalu, untuk elemen-elemen matriks A bisa dinotasikan dengan a_ij, yang menyatakan elemen matriks A pada baris ke-i dan kolom ke-j. Supaya kamu nggak bingung, langsung simak contoh di bawah berikut!

 a₁₁ menyatakan elemen matriks A pada baris ke-1 kolom ke-1. 

 Contoh: 

• Elemen matriks A pada baris ke-1 kolom ke-2 adalah -1
• Elemen matriks A pada baris ke-2 kolom ke-1 adalah 4

C. Macam- Macam Matriks

1. Matriks Berdasarkan Banyak Baris dan Kolom 

    a) Matriks Baris yaitu matriks yang hanya memiliki satu baris. 

        Contoh: B = ( 3    9    6    0)

    b) Matriks Kolom yaitu matriks yang yang hanya memiliki satu kolom.

  c) Matriks persegi adalah suatu matriks yang memiliki jumlah baris dan kolom sama. ordo  matriksnya bisa kita tulis menjadi n x n, atau matriks ordo n. Pada matriks persegi,terdapat diagonal utama, yaitu elemen-elemen matriks yang letak barisnya sama dengan letak kolomnya. Selain diagonal utama, ada juga diagonal samping atau diagonal kedua. Kalo kita tarik garis di sepanjang diagonal utama matriks, maka diagonal samping ini berada di arah sebaliknya.

   d) Matriks persegi panjang adalah matriks yang banyak barisnya tidak sama dengan banyak kolomnya. Matriks ini  berordo m x n.

1. Matriks Berdasarkan Pola Elemen

a) Matriks Nol adalah matriks yang semua elemennya bernilai nol. Matriks nol biasanya dinotasikan dengan huruf O disertai ordonya. Contohnya:

b) Matriks Diagonal adalah  matriks persegi yang elemen-elemen selain diagonal utamanya bernilai nol. Contohnya:

c) Matriks Identitas (I) adalah matriks persegi yang semua elemen pada diagonal utamanya bernilai satu, sedangkan elemen lainnya bernilai nol. Umumnya, matriks identitas dinotasikan dengan I disertai dengan ordonya. Contohnya: 

d) Matriks Segitiga  adalah matriks persegi yang semua elemen di bawah atau diatas diagonal utama semuanya nol. Contohnya:

D. Transpose Suatu Matriks

    Transpose matriks adalah suatu matriks yang diperoleh dari hasil pertukaran antara elemen baris dan kolomnya. Jadi, elemen-elemen pada baris akan kita tukar menjadi elemen-elemen pada kolom, atau sebaliknya, transposenya bisa dinotasikan dengan A^T dan  A^'.

E. Contoh-Contoh Soal

    1. Jumlah elemen elemen diagonal utama matriks

 adalah....

Penyelesaian:

Diketahui: 

Ditanya     : Jumlah elemen elemen diagonal utama matriks P…?

Jawab        : Elemen elemen diagonal utama matriks P adalah 1, 5, dan -10.

                          Jumlah elemen elemen utama diagonal matriks P

                   = 1 + 5 + (-10)

                   = -4

              Jadi, Jumlah elemen elemen utama diagonal matriks P adalah -4.

Untuk menambah pemahamanmu, silahkan klik video pembelajaran dibawah ini!

   

 ^{Sudahkah kamu menyimak video tersebut? Apakah kamu telah benar-benar memahami materi pada bagian pengertian dan notasi matriks ini?}

^{Guna memperdalam pemahamanmu terkait materi pada bagian ini, selesaikankan soal-soal dibawah ini!}    

^{Untuk mengkonfirmasi pengerjaan soal yang telah kalian kerjakan, silahkan lihat atau download pembahasan soal di atas melalaui tautan file dibawah ini!}

^{https://drive.google.com/file/d/1iOVaPIip28ZtyBQhWpm8GsdX5ahT_giI/view?usp=share_link}